Révision Maths Première

I

Algèbre

Second degré, suites numériques, suites arithmétiques et géométriques.

x² Second degré

Forme canonique, discriminant, racines, signe du trinôme

Le chapitre central de l'algèbre en Première : résoudre ax²+bx+c = 0, factoriser un trinôme, étudier son signe et déterminer ses variations.

Forme canonique Discriminant Δ = b² − 4ac Racines et factorisation Signe du trinôme Somme et produit des racines

Discriminant et racines

Δ = b² − 4ac · Si Δ > 0 : x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)
Si Δ = 0 : x₀ = −b / (2a) · Si Δ < 0 : pas de racine réelle
Somme : x₁ + x₂ = −b/a · Produit : x₁ × x₂ = c/a

Cours Fonctions du 2nd degré

Cours Équations du 2nd degré

Méthode Reconnaître la forme canonique

Méthode Résoudre une équation du 2nd degré

Exercice Équations (cas particuliers)

Méthode Etudier le signe d'un trinôme

uₙ Généralités sur les suites

Mode de génération, représentation graphique, variation, limite

Une suite est une fonction de ℕ dans ℝ. Découvrir les modes de génération (explicite, récurrence), la représentation graphique et l'étude des variations.

Définition d'une suite Forme explicite et récurrence Représentation graphique Sens de variation Notion de limite

Modes de génération

Explicite : uₙ = f(n) · ex : uₙ = 2n + 1
Récurrence : uₙ₊₁ = f(uₙ) · ex : u₀ = 1, uₙ₊₁ = 2uₙ − 3

Cours Généralités sur les suites

Méthode Calculer les premiers termes (1)

Méthode Représenter graphiquement une suite

Méthode Etudier le sens de variation (1)

+× Suites arithmétiques & géométriques

Raison, terme général, somme des termes, démonstrations

Deux types fondamentaux de suites : les suites arithmétiques (addition constante) et géométriques (multiplication constante). Leurs formules sont à connaître par cœur.

Suite arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r Suite géométrique : uₙ₊₁ = uₙ × q Terme général et somme Démonstrations au programme

Formules clés

Arithmétique : uₙ = u₀ + n·r · S = n(n+1)/2
Géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ · S = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)

Cours Suites arithm. et géom.

Démonstration Terme général suite arithm.

Démonstration Terme général suite géom.

Démonstration Somme suite arithm.

Démonstration Somme suite géom.

Exercice Nature d'une suite

II

Analyse

Dérivation, fonction exponentielle, fonctions trigonométriques.

f′ Dérivation

Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, variations, extremum

La dérivation est l'outil fondamental pour étudier les variations d'une fonction. Savoir calculer un nombre dérivé, une tangente, et utiliser le signe de la dérivée.

Nombre dérivé et tangente Fonctions dérivées usuelles Dérivée d'une somme, d'un produit Signe de f′ et variations Extremum d'une fonction

Dérivées à connaître

(x²)′ = 2x · (x³)′ = 3x² · (1/x)′ = −1/x²
(√x)′ = 1/(2√x) · (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ · (ku)′ = k·u′ · (u+v)′ = u′+v′

Cours La dérivation

Méthode Calculer le nombre dérivé (1)

Méthode Dériver une fonction (2)

Méthode Déterminer une équation de tangente

Méthode Signe de la dérivée ↔ variations

Méthode Étudier les variations

eˣ Fonction exponentielle

Définition, propriétés algébriques, équations, dérivation

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes des mathématiques. Elle est égale à sa propre dérivée et transforme les sommes en produits.

Définition : exp′(x) = exp(x) et exp(0) = 1 Propriétés : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ Limites et croissance Équations et inéquations

Propriétés fondamentales

e^a+b = e^a × e^b · e^−a = 1 / e^a
e^a−b = e^a / e^b · (e^a)ⁿ = e^na
(e^x)′ = e^x · (e^u)′ = u′·e^u

Cours Fonction exponentielle

Méthode Appliquer les formules (base e)

Méthode Résoudre une équation avec exponentielle

Méthode Dériver la fonction exponentielle

III

Géométrie

Trigonométrie, produit scalaire, géométrie repérée.

⟳ Trigonométrie

Radian, cercle trigonométrique, cosinus, sinus, fonctions trigo

Une nouvelle unité d'angle (le radian), le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables de cos et sin, et les fonctions trigonométriques périodiques.

Radian et correspondance degrés Cercle trigonométrique Cosinus et sinus d'un angle Angles associés Fonctions cosinus et sinus

Valeurs remarquables

Angle : 0° 30° 45° 60° 90°
Radian : 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sin : 0 ½ √2/2 √3/2 1
cos : 1 √3/2 √2/2 ½ 0

Cours Trigonométrie

Méthode Apprendre à lire sur le cercle trigonométrique

Méthode Placer un point sur le cercle (1)

Méthode Mesure principale d'un angle

Méthode Résoudre une équation trigonométrique (1)

Méthode Reconnaître parité et périodicité

· Produit scalaire

Définition, propriétés, orthogonalité, théorème d'Al-Kashi

Le produit scalaire est un outil puissant pour calculer des longueurs, des angles, et démontrer l'orthogonalité dans le plan.

Définition et formules Bilinéarité et symétrie Produit scalaire avec les coordonnées Orthogonalité Théorème d'Al-Kashi

Trois formules du produit scalaire

1. u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ
2. u·v = ½(‖u+v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)
3. u·v = xx′ + yy′ (dans un repère orthonormé)

Cours Produit scalaire

Méthode Calculer un produit scalaire avec le cosinus

Méthode Calculer un produit scalaire avec les normes

Méthode Appliquer le théorème d'Al Kashi (1)

Méthode Calculer avec les coordonnées

Méthode Utiliser une propriété d'orthogonalité (1)

📐 Géométrie repérée

Équations cartésiennes, vecteur normal, équation de cercle

Dans un repère orthonormé, toute droite peut être décrite par une équation cartésienne. Le vecteur normal généralise la notion de perpendicularité.

Équation cartésienne ax + by + c = 0 Vecteur directeur et vecteur normal Parallélisme et orthogonalité Équation d'un cercle Projeté orthogonal

Équation d'un cercle

Cercle de centre Ω(x₀ ; y₀) et de rayon R :
(x − x₀)² + (y − y₀)² = R²

Cours Géométrie repérée

Méthode Déterminer une équation cartésienne (vecteur normal)

Méthode Déterminer les coordonnées d'un projeté orthogonal

Méthode Déterminer une équation de cercle (1)

IV

Probabilités

Probabilités conditionnelles, variables aléatoires.

P(A|B) Probabilités conditionnelles

Arbre pondéré, formule des probabilités totales, indépendance

Les probabilités conditionnelles permettent de calculer des probabilités lorsqu'une information partielle est connue. L'arbre pondéré est l'outil visuel indispensable.

Probabilité conditionnelle P_A(B) Arbre pondéré Formule des probabilités totales Événements indépendants

Formules essentielles

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) · P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)
P(B) = Σ P(A_i) × P_{A_i}(B) · Probabilités totales
A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Cours Probabilités conditionnelles

Méthode Calculer P_A(B) (tableau)

Méthode Construire un arbre pondéré

Méthode Probabilités totales

Méthode Démontrer l'indépendance

Exercice Bac probas conditionnelles

X(Ω) Variables aléatoires

Loi de probabilité, espérance, variance, écart-type

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. La loi de probabilité décrit la distribution des valeurs possibles.

Variable aléatoire et loi de probabilité Espérance mathématique E(X) Variance V(X) et écart-type σ(X) Transformation Y = aX + b

Indicateurs d'une variable aléatoire

E(X) = Σ x_i·P(X = x_i) · Espérance
V(X) = Σ (x_i − E(X))²·P(X = x_i) · Variance
σ(X) = √V(X) · Écart-type
E(aX + b) = a·E(X) + b · V(aX + b) = a²·V(X)

Cours Variables aléatoires

Méthode Déterminer une loi de probabilité (1)

Méthode Calculer une espérance

Méthode Variance et écart-type

V

Algorithmique et programmation

Python au lycée — notions transversales du programme de Première.

</> Algorithmique en Python

Variables, boucles, conditions, fonctions, listes — pour les suites et la dérivation

L'algorithmique en Première s'appuie sur les nouveaux chapitres : calculs de termes de suites, recherche de seuil, calcul de taux d'accroissement, et résolution d'équations du second degré.

Calcul de termes d'une suite Recherche de seuil (while) Fonctions et paramètres Listes en Python Calcul du discriminant

Exemple — Seuil d'une suite

                def seuil(S):

                    n, u = 0, 1

                    while u < S:

                        n += 1

                        u = 1.5 * u

                    return n

Méthode Python — Calculer des termes d'une suite

Méthode Python — Déterminer un seuil pour une suite

Méthode Python — Calculer la somme des termes